Truques para Factoring equações quadráticas

Quando uma equação quadrática é um quadrado perfeito, pode ser mais fácil fatorar.

Equações quadráticas são fórmulas que podem ser escritas na forma Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Às vezes, uma equação quadrática pode ser simplificada por fatoração, ou expressar a equação como um produto de termos separados. Isso pode tornar a equação mais fácil de resolver. Os fatores às vezes podem ser difíceis de identificar, mas existem truques que facilitam o processo.

Reduza a equação pelo maior fator comum

Examine a equação quadrática para determinar se existe um número e / ou uma variável que possa dividir cada termo da equação. Por exemplo, considere a equação 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. O maior número que pode se dividir uniformemente em cada termo da equação é 2, então 2 é o maior fator comum (GCF).

Divida cada termo na equação pelo GCF e multiplique a equação inteira pelo GCF. No exemplo da equação 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, isso resultaria em 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Simplifique a expressão completando a divisão em cada termo. Não deve haver frações na equação final. No exemplo, isso resultaria em 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Procure a diferença de quadrados (se B = 0)

Examine a equação quadrática para ver se ela está no formato Ax ^ 2 + 0x - C = 0, onde A = y ^ 2 e C = z ^ 2. Se este for o caso, a equação quadrática está expressando a diferença de dois quadrados. Por exemplo, na equação 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 e C = 9 = 3 ^ 2, então y = 2 ez = 3.

Fatore a equação na forma (yx + z) (yx - z) = 0. Na equação do exemplo, y = 2 ez = 3; portanto, a equação quadrática fatorada é (2x + 3) (2x - 3) = 0. Essa será sempre a forma fatorada de uma equação quadrática que é a diferença de quadrados.

Procure por praças perfeitas

Examine a equação quadrática para ver se é um quadrado perfeito. Se a equação quadrática é um quadrado perfeito, ela pode ser escrita na forma y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, como a equação 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, que pode ser reescrita como (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Nesse caso, y = 2x e z = 3.

Verifique se o termo 2yz é positivo. Se o termo é positivo, os fatores da equação quadrática quadrada perfeita são sempre (y + z) (y + z). Por exemplo, na equação acima, 12x é positivo, portanto os fatores são (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Verifique se o termo 2yz é negativo. Se o termo for negativo, os fatores são sempre (y - z) (y - z). Por exemplo, se a equação acima tivesse o termo -12x em vez de 12x, os fatores seriam (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Método de multiplicação reversa FOIL (se A = 1)

Configure a forma fatorada da equação quadrática escrevendo (vx + w) (yx + z) = 0. Relembre as regras para multiplicação de FOLHA (Primeiro, Fora, Dentro, Último). Como o primeiro termo da equação quadrática é um Ax ^ 2, ambos os fatores da equação devem incluir um x.

Resolva v e y considerando todos os fatores de A na equação quadrática. Se A = 1, então v e y sempre serão 1. Na equação do exemplo x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, então v e y podem ser resolvidos na equação fatorada para obter (1x + w ) (1x + z) = 0.

Determine se w e z são positivos ou negativos. As seguintes regras se aplicam: C = positivo e B = positivo; ambos os fatores têm um sinal + C = positivo e B = negativo; ambos os fatores possuem um sinal - C = negativo e B = positivo; o fator com o maior valor tem um sinal + C = negativo e B = negativo; o fator com o maior valor tem um sinal - Na equação do exemplo da Etapa 2, B = -9 e C = +8, então ambos os fatores da equação terão - sinais, e a equação fatorada pode ser escrita como (1x - w) (1x - z) = 0.

Faça uma lista de todos os fatores de C para encontrar os valores de w e z. No exemplo acima, C = 8, então os fatores são 1 e 8, 2 e 4, -1 e -8 e -2 e -4. Os fatores devem somar B, que é -9 na equação do exemplo, então w = -1 ez = -8 (ou vice-versa) e nossa equação é totalmente fatorada como (1x - 1) (1x - 8) = 0

Método de caixa (se A não = 1)

Reduza a equação para sua forma mais simples, usando o método de Maior Fator Comum listado acima. Por exemplo, na equação 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, o GCF é 9, portanto a equação simplifica para 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Desenhe uma caixa e divida-a em uma tabela com duas linhas e duas colunas. Coloque Ax ^ 2 da equação simplificada na linha 1, coluna 1 e C da equação simplificada na linha 2, coluna 2.

Multiplique A por C e encontre todos os fatores do produto. No exemplo acima, A = 1 e C = -10, então o produto é (1) (- 10) = -10. Os fatores de -10 são -1 e 10, -2 e 5, 1 e -10 e 2 e -5.

Identifique quais dos fatores do produto AC somam a B. No exemplo, B = 3. Os fatores de -10 que somam 3 são -2 e 5.

Multiplique cada um dos fatores identificados por x. No exemplo acima, isso resultaria em -2x e 5x. Coloque esses dois novos termos nos dois espaços vazios no gráfico, para que a tabela fique assim:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Encontre o GCF para cada linha e coluna da caixa. No exemplo, o CGF da linha superior é x e a linha inferior é -2. O GCF da primeira coluna é x e a segunda coluna é 5.

Escreva a equação fatorada na forma (w + v) (y + z) usando os fatores identificados nas linhas do gráfico para w e v, e os fatores identificados nas colunas do gráfico para y e z. Se a equação foi simplificada no Passo 1, lembre-se de incluir o GCF da equação na expressão fatorada. No caso do exemplo, a equação fatorada será 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Dicas

Certifique-se de que a equação esteja na forma quadrática padrão antes de iniciar qualquer um dos métodos descritos.

Nem sempre é fácil identificar um quadrado perfeito ou uma diferença de quadrados. Se você puder ver rapidamente que a equação quadrática que está tentando calcular está em uma dessas formas, isso pode ser uma grande ajuda. No entanto, não gaste muito tempo tentando descobrir isso, pois os outros métodos podem ser mais rápidos.

Sempre verifique seu trabalho multiplicando os fatores usando o método FOIL. Os fatores devem sempre se multiplicar de volta à equação quadrática original.

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